相等位移所用时间之比推导
当物体初速度为零，从原点开始，若位移之比为1：2：3：……：n，则根据公式t=√（2S/a），可以推导出所用时间之比为1：√2：√3：……：√n。接着，考虑连续相等位移的情况。假设每个相等位移为d，那么位移之比变为d：2d：3d：……：nd。
相同位移所用时间之比公式推导：假设从0开始加速，每段位移为s，通过s的时间t1，a（t1）/2=s，t1=√2s/a。所以每一段s的时间为t1：t2-t1：t3-t2……tn-tn-1=1：√2-1：√3……√n-√n-1。
解这个等式，我们可以发现时间之比t1：t2：t3…tn=1：（√2-1）：（√3-√2）：（√n-√（n-1）。在物理学中，位移和距离是两个不同的概念。大小相等且方向一致的位移才是相等的位移，而大小相等但方向不同的则是距离相等。位移是用来描述物体（质点）位置变化的物理量。
相同时间内的位移比公式是什么?
位移公式：s=V0t+（at^2）/2。推论 速度位移公式：V^2-V0^2=2aS。时间中点的速度：vt/2=（v1+v2）/2。位移中点的速度：vs/2=（2v1v2）/（v1+v2）=√（v0^2 + vt^2）/2） （vv2分别为前一段位移速度和后一段位移速度）。
相同时间内位移之比为：1：3：5：7：9：（n-1+2）过程有点复杂，高中必修一的辅助教材里有。
时间2t内的位移为sII=1/2g（2t）^2 第二个t内的位移为s2=sII-sI=3*1/2gT^2 时间3t内的位移为sIII=1/2g（3t）^2 第三个t内的位移为s3=sIII-sII=5*1/2gT^2 所以相邻的两段相等时间内的位移之比为1：3：5：...：（2n-1） ，其中n为第n个时间段。
大小相等方向不同是距离相等。位移用位移表示物体（质点）的位置变化。定义为：由初位置到末位置的有向线段。其大小与路径无关，方向由起点指向终点。它是一个有大小和方向的物理量，即矢量。速度公式： V=V0+at（由于V0、a是定值，于是V是关于t的一次函数）。位移公式：s=V0t+（at^2）/2。
根据自由落体运动的特点，在相等的时间内的位移比为1：3：5：..第一秒内的位移为：S=0.5×10×1=5米。
