二阶导数的积分表达形式可以通过积分的基本定理来推导。对于函数 ( f(x) )，如果它的二阶导数 ( f''(x) ) 是已知的，那么可以通过以下步骤找到 ( f(x) ) 的表达式：
1. 对 ( f''(x) ) 进行一次不定积分，得到 ( f'(x) ) 的一个原函数：
[
f'(x) = int f''(x) , dx + C_1
]
其中 ( C_1 ) 是积分常数。
2. 然后，对 ( f'(x) ) 进行另一次不定积分，得到 ( f(x) ) 的一个原函数：
[
f(x) = int f'(x) , dx + C_2
]
其中 ( C_2 ) 是另一个积分常数。
将第一个积分的结果代入第二个积分中，我们得到：
[
f(x) = int (int f''(x) , dx + C_1) , dx + C_2
]
展开积分，我们得到：
[
f(x) = int f''(x) , dx int 1 , dx + C_1 int 1 , dx + C_2
]
由于 (int 1 , dx = x)，所以：
[
f(x) = int f''(x) , dx cdot x + C_1 cdot x + C_2
]
最终，二阶导数的积分表达形式为：
[
f(x) = x int f''(x) , dx + C_1 x + C_2
]
这里 ( C_1 ) 和 ( C_2 ) 是任意常数，它们代表了 ( f(x) ) 的任意两个不同的原函数之间的差。
