单调有界数列必有极限。但是有几个
1、单调有界定理：若数列{an}递增（递减）有du上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列有序，所以收敛时只能存在一个极限。
2、同样，如果一个数列是单调递减且有下界，根据单调有界准则，这个数列也必定收敛于某个实数。因为单调递减意味着数列中的元素只会越来越小，而下界的存在又确保了这个数列不会无限减小。因此，数列必定会“收敛”到某个有限值。
3、单调有界的数列有1个聚点。若数列{an}递增（递减）有上界（下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。运用范围：单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法。数列从某一项开始单调有界的结论依然成立，这是因为改变数列有限项不改变数列的极限。
4、在数学中，单调有界数列必有极限是一个非常基础的定理。它告诉我们，如果一个数列在数值上单调递增或减，并且有一个上限和一个下限，那么它必然有一个极限。这个定理使用起来非常广泛，它可以用于证明一些重要的数学结论，比如连续函数的中间值定理和柯西收敛等。
5、是指同时有上下界。单调 序列 的话应该就已经说明有一个界了，a1就是它的一个界，比如{an}，an=n，a1就是它的下界了。如果数列单调递增，有上界，就证明它在n趋于正无穷时必有极限。（同时它有a1作为下界）如果数列单调递减，有下界，就证明它在n趋于正无穷时必有极限。
