其实矩阵的秩小于行和列的最小值的问题并不复杂，但是又很多的朋友都不太了解矩阵的秩小于行和列的最小值怎么算，因此呢，今天小编就来为大家分享矩阵的秩小于行和列的最小值的一些知识，希望可以帮助到大家，下面我们一起来看看这个问题的分析吧！
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矩阵的秩为什么小于等于矩阵行列的最小值
1、矩阵的秩小于等于矩阵行列的最小值的原因有以下方面：定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。初等变换不改变矩阵的秩。如果A可逆，则r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）。
2、也可以R（A）n，你想啊，如果n 大，m小，小于m是比较精确的说法。如果m大，n小，那小于m是范围比较大了点而已，肯定小于m的对吧。因为上面得出与m的关系了，这就是“”放缩法“”的适当之处。
3、m×n矩阵的秩最大为 m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk（A） 或 rank A。
4、AB的秩永远小于等于A的秩和B的秩两者的最小值。秩是线性代数术语。性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
5、行列式为零意味着方阵不满秩；矩阵中非0子式的最高阶数就是矩阵的秩；超过矩阵的秩的任意阶方阵行列式必为0。
6、对。矩阵的秩最大为m和n中的较小者，有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩。对于矩阵来说，它的秩一定小于行数和列数中的最小值，由行列最小的数控制是对的。秩的性质：秩是一个正整数。
两个矩阵乘积的秩为何能小于两个中小的那个?
则AB=（Ab1，Ab2，...，Abs） = （c1，c2，...，cs）即 Abi=ci 其中i=1，2，...，s 可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。
两个矩阵相乘可能使某一行或者某一列为零，从而是秩减小，但是原来是零的一行或者一列乘过以后还是零，所以秩不可能，只会不变或者减小。
矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩是一个重要的性质，其直观理解如下：对于两个矩阵A和B的乘积AB，每一行可以看做是A的一行向量与B进行线性组合得到的结果。
矩阵相乘可以理解为一种映射，比如本来矩阵是3维的，要映射到2维空间，那么秩就是2了，但是要映射到4维空间，不够分，所以还是3维的。综上所述，乘另一个矩阵，结果秩不变或者变小。
为什么矩阵的秩小于列向量的秩?
原因：按照秩的性质有r（AB）=min（r（A），r（B）行向量和列向量本身秩都为1，所以r（AB）=1。m×n矩阵的秩最大为 m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。
在研究A的行空间时，我们符号常用rk（A）来代表矩阵A的秩。然后，我们可以考虑矩阵A中每个向量所构成的线性组合，这里的向量可以是行向量或列向量。
可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）=r（A）。同理对B进行行分块也可证明。
行秩与列秩比较常用。在计算中，行秩与列秩可用于计算矩阵的秩（高斯消元法）。在证明中，行秩与列秩实质上将矩阵的秩转化为向量组的秩，故可有向量的性质推证矩阵性质。重要定理 每一个线性空间都有一个基。
m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min（m，n）。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
矩阵的秩定义
矩阵的秩矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。 定义 在mn矩阵A中，任意决定k行和k列 （1kmin{m，n}） 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
秩是线性代数术语。性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
定义 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩，记为r（A），根据这个定义，矩阵的秩可以通过初等行变换求得。
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
矩阵的秩定义为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的个数。如果两个矩阵A和B的秩分别为r（A）和r（B），那么它们的和A+B的秩r（A+B）满足：r（A+B）≤r（A）+r（B）。
为什么秩小于行或者列的个数n呢
原因：按照秩的性质有r（AB）=min（r（A），r（B）行向量和列向量本身秩都为1，所以r（AB）=1。m×n矩阵的秩最大为 m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。
也就是 A 的秩最多为 n ，因此 秩（A） ≤ n 。（其实还有 秩（A） ≤ m ，只不过 m n，因此 秩（A） ≤ n 更精确）m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min（m，n）。
引理：设矩阵A=（aij）sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
n表示矩阵的维度。性代数中，矩阵的秩（rank）是指矩阵的行（或列）向量组的最大线性无关组的向量个数，而矩阵的秩小于n时，其中的n表示矩阵的维度，也就是矩阵的行数或列数（如果是方阵，则行数和列数相等）。
即 Abi=ci 其中i=1，2，...，s 可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）=r（A）。
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