向量组的秩和矩阵的秩

这篇文章给大家聊聊关于向量组的秩和矩阵的秩，以及向量组的秩和矩阵的秩的区别对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站哦。

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1、定义不同：向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。矩阵的秩是线性代数中的一个概念。

2、描述对象不同，表现形式不同。描述对象不同：向量组的秩是用来描述向量组的；而矩阵的秩是用来描述矩阵的。表现形式不同：向量组是一组向量；而矩阵是由向量按行或列组成的表格。

3、本质不同、应用场景不同。本质：向量组的秩描述的是向量组中最大线性无关向量的个数，而矩阵的秩描述的是矩阵的线性无关行向量的个数。

4、向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组，这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶。可以证明的是行轶和列轶相等，这就是矩阵的轶。

5、本质：虽然向量和矩阵的秩在数值上相同，但在本质上是不同的。向量组的秩描述的是向量组中最大线性无关向量的个数，而矩阵的秩描述的是矩阵的线性无关行向量的个数。

计算方式不同：矩阵的秩可以通过初等行变换得到，而向量组的秩可以通过初等行变换或初等列变换得到。

首先，因为矩阵的秩就是定义为行向量组的秩（也可以定义成列向量组的秩）。其次，矩阵的秩定义为它的行向量的秩。因为有结论：转置矩阵与原矩阵有相同的秩。所以行向量组的秩与列向量的秩相等。

向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。

3、本质不同、应用场景不同。本质：向量组的秩描述的是向量组中最大线性无关向量的个数，而矩阵的秩描述的是矩阵的线性无关行向量的个数。

一般把矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。矩阵的秩：（1）性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目；类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵行向量组的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩，任何情况下都相等。三个秩其实是从不同方面描述矩阵的秩，对于同一个矩阵，三秩在任意情况下均相等。行秩与列秩比较常用。

向量组的秩：一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组，行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩。

定义：对于矩阵A，其行秩等于列秩，等于矩阵的秩。而一个m行n列的矩阵可以看作是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组，行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩。

性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

1、矩阵的秩和向量组秩相等以列向量组为例，因为，初等变换不改变矩阵的秩。并且，向量组的矩阵经初等变换后得到的向量组与原向量组有相同的线性关系，进而有相同的秩。故矩阵的秩与其列向量组的秩相同。

2、矩阵行向量组的秩 = 矩阵列向量组的秩 = 矩阵的秩，任何情况下都相等。三个秩其实是从不同方面描述矩阵的秩，对于同一个矩阵，三秩在任意情况下均相等。行秩与列秩比较常用。

3、在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目。

4、无关组加分量仍无关 3， r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0 好了，简略证明过程开始，我先证“矩阵的秩等于列向量组的秩”。

其次，矩阵的秩定义为它的行向量的秩。因为有结论：转置矩阵与原矩阵有相同的秩。所以行向量组的秩与列向量的秩相等。例如，一个三行四列的满秩矩阵，它的秩为3，如果你将其化为一个4行3列的矩阵，它的秩也为3。

行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩在数值上相等，但它们是完全不同的概念。向量组只有秩的概念，没有行秩的概念。向量组的极大线性无关组所含向量的个数是向量组的秩。

相等。矩阵的秩就是它的行向量组（成或列向量组）的秩。以列向量组为例，因bai为，初等变换不du改变矩阵的秩。并且，向量组的zhi矩阵经初等变换后得到的向量组与原向量组有相同的线性关系，进而有相同的秩。

其中i=1，2，...，s 可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）=r（A）。同理对B进行行分块也可证明。

向量组的秩：指的是其最大线性无关组中的向量个数。矩阵的秩：指的是最大非零子式的阶数。虽然这两个定义不一样，但是将矩阵的行看作是行向量，这个行向量组的秩却和矩阵的秩一样。

极大无关组与向量组等价。无关组可由另一向量组线性表出，则无关组向量个数小于另一组。性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

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